Bayesova věta nebo pravděpodobnost příčin

Bayesova věta je jedním z pilířů počtu pravděpodobnosti . Je to teorie předložená Thomasem Bayesem (1702-1761) v 18. století. Jaký je ale účel výzkumu tohoto slavného vědce? Pravděpodobnost vyjadřuje v náhodném procesu poměr mezi počtem příznivých případů a počtem možných případů.

Bylo vyvinuto mnoho teorií pravděpodobnosti, které řídí naši dnešní existenci. Když jdeme k lékaři, předepíše lék, který se v našem případě nejpravděpodobněji ukáže jako užitečný, stejně jako inzerenti věnují své kampaně lidem, kteří si s největší pravděpodobností koupí produkt, který chtějí propagovat, nebo turistům a cestovatelům, kteří si vyberou cestu, kde bude pravděpodobně nejmenší fronta.

Zákon celkové pravděpodobnosti patří mezi nejznámější, proto dříve, než o něm budeme mluvit Bayesova věta vysvětlení toho prvního budeme muset věnovat pár řádků. Chcete-li to pochopit, stačí uvést příklad .

Jaká je pravděpodobnost (P), že je náhodně vybraná osoba z pracující populace v této zemi? nezaměstnaný ?

Podle teorie pravděpodobnosti by byla data vyjádřena takto:

• Pravděpodobnost, že osoba je žena: P (M)
• Pravděpodobnost, že se jedná o muže: P (H)

S vědomím, že 39 % populace tvoří ženy, usuzujeme, že: P (M) = 039.

Je tedy jasné, že: P (H) = 1 – 039 = 061. Úloha položená na začátku nám také dává podmíněné pravděpodobnosti:

• Pravděpodobnost, že je osoba nezaměstnaná s vědomím, že je žena -> P (P | M) = 022
• Pravděpodobnost, že je člověk nezaměstnaný s vědomím, že je muž – P (P | H) = 014

Pomocí zákon celkové pravděpodobnosti budeme mít:

P (P) = P (M) P (P | M) P (H) P (P | H)

P (P) = 022 × 039 014 × 061

P(P) = 017

The . Pozorujeme, že výsledek je na půli cesty mezi dvěma podmíněnými pravděpodobnostmi (022<017 <014). Inoltre è più prossimo al valore degli uomini perché nella popolazione di questo paese immaginario sono la maggioranza.

Pojďme objevit Bayesovu větu

Nyní předpokládejme, že je náhodně vybrán dospělý k vyplnění formuláře a zjistí se, že nemá práci. Jaká je v tomto případě as přihlédnutím k předchozímu příkladu pravděpodobnost, že tato náhodně vybraná osoba je žena -P (M | P) -?

K vyřešení tohoto problému použijeme Bayesovu větu který se používá k výpočtu pravděpodobnosti události tím, že má o ní informace předem . Můžeme vypočítat pravděpodobnosti události A s vědomím, že splňuje určité charakteristiky (B).

V tomto případě mluvíme o pravděpodobnosti, že náhodně vybraná osoba k vyplnění formuláře je žena. Ale to

Vzorec Bayesovy věty

Jako každá jiná věta potřebujeme vzorec.

Vypadá to složitě, ale vše má své vysvětlení. Uvažujme po částech. Co každé písmeno znamená?

B je událosto kterém máme předběžné informace.
• L písmeno A (n) odkazuje na různé podmíněné události.
• V čitatelské části máme podmíněná pravděpodobnost . To se týká pravděpodobnosti, že něco nastane (událost A) s vědomím, že dojde také k jiné události (B). Je definována jako P (A | B) a je vyjádřena jako: Pravděpodobnost A dané B .
• Ve jmenovateli máme ekvivalent P (B) a následuje stejné vysvětlení jako předchozí bod.

Příklad

Vraťme se k předchozímu příkladu předpokládejme, že je náhodně vybrán dospělý k vyplnění dotazníku a je pozorováno, že ano nezaměstnaný . Jaká je šance, že tato vyvolená osoba bude žena?

Víme, že 39 % aktivní populace tvoří ženy, zatímco zbytek ano muži . Víme také, že procento nezaměstnaných žen je 22 % a mužů 14 %.

Konečně také víme, že pravděpodobnost, že náhodně vybraná osoba je nezaměstnaná, je 017. Pokud použijeme vzorec Bayesovy věty, dostaneme výsledek, že existuje pravděpodobnost 05, že náhodně vybraná osoba mezi nezaměstnanými

P (M | P) = (P (M) * P (P | M) / P (P)) = (022 * 039) / 017 = 05

Bayesova věta pochází z konjunkce věty o složené a absolutní pravděpodobnosti, kterou jsme vysvětlili na začátku. Jeho hlavním rysem je, že funguje ve všech interpretacích pravděpodobnosti.

Protože jej lze použít k výpočtu pravděpodobnosti příčiny, která událost spustila jeho význam spočívá ve způsobu, jakým historicky ovlivňoval studium statistiky . Dnes jsou ve skutečnosti známy dvě hlavní školy (jedna frekventistická a druhá bayesovská), které se vzájemně kontrastují, počínaje výkladem daným této teorii.

Zakončíme zajímavostí: věděli jste, že elektronický spam (tj Internet e-mailové reklamy) funguje to díky Bayesově větě?